m4.2 麻省理工 MIT18.06 线性代数

课程名称

线性代数

课程概要

《麻省理工 MIT 18.06 线性代数》课程深入探讨了线性代数的核心概念和应用，旨在帮助学生掌握矩阵运算、线性方程组求解、特征值分析等重要内容。课程从几何视角入手，首先介绍了线性方程组的几何意义与矩阵消元法，进而讲解了如何通过矩阵因式分解、求逆矩阵等技巧高效求解问题。学生将学习列空间、零空间及其与线性方程组解的关系，掌握四个基本子空间以及其在求解线性方程组中的应用。

此外，课程还重点讲解了正交向量和子空间投影、投影矩阵及最小二乘法等内容，这些概念在数据拟合和优化问题中具有广泛应用。通过对行列式、特征值与特征向量、对角化等基础理论的学习，学生将能够处理更复杂的矩阵问题，并掌握如何利用这些工具分析和解决微分方程、傅里叶级数等实际问题。课程最后介绍了奇异值分解、正定矩阵、相似矩阵和乔丹形式等高级主题，使学生能够应对更广泛的线性代数应用，涵盖图形压缩、网络分析等领域。

通过本课程，学生将深入理解线性代数的理论和实践，掌握处理高维数据、分析复杂系统的数学工具，为进一步的数学、计算机科学、工程学科等领域的学习和研究打下坚实的基础。

课程大纲

1.线性方程的几何
2.矩阵消元法
3.乘法和逆矩阵
4.因式分解为 A = LU
5.转置、排列、空间 R^n
6.列空间和零空间
7.求解 Ax = 0：枢轴变量，特殊解
8.求解 Ax = b：行简化形式 R
9.独立性、基础和维度
10.四个基本子空间
11.矩阵空间、秩1矩阵和小世界图
12.图形，网络，关联矩阵
13.测验 1 复习
14.正交向量和子空间
15.子空间投影
16.投影矩阵和最小二乘法
17.正交矩阵和 Gram-Schmid
18.行列式的性质
19.行列式公式和余因式
20.克莱姆规则、逆矩阵和体积
21.特征值和特征向量_
22.对角化和 A 的幂
23.微分方程和 exp(At)_
24.马尔可夫矩阵；傅里叶级数
25.测验 2 复习
26.对称矩阵和正定性
27.复矩阵；快速傅里叶变换
28.正定矩阵和最小值
29.相似矩阵和 Jordan 形式
30.奇异值分解
31.线性变换及其矩阵
32.基础的变化；图像压缩_
33.测验 3 复习
34.左逆和右逆；伪逆
35.期末课程复习
36.吉尔伯特·斯特朗教授谈线性代数教学

学习指南